La primera pregunta y la más obvia que usted se habrá hecho, después de leer lo anterior será: ¿es entonces posible ganar en la ruleta?, ¿cuáles son mis posibilidades al escoger uno de los treinta y ocho números de que este caiga?. Tal vez usted ya ha buscado por sí mismo o a través de libros o internet la respuesta a este interrogante, y por lo general, la respuesta que ha encontrado es un ingenuo cálculo, empleando el principio general de la Teoría de las Probabilidades, a saber: Que la posibilidad de ganar es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. Entonces para el juego de la ruleta, si escoge un solo número y espera ganar en una sola rodada sus posibilidades serían 1 dividido entre 38, lo que es igual a 0,026 esta es una posibilidad muy baja y punto!, eso es lo más que le dirían la generalidad de tratados de ruleta… pero, ¿acaso no han pensado que en la ruleta usted puede seguir intentando con más rodadas?, ¿qué pasa entonces si continua invirtiendo en más rodadas al número que ha elegido?, en ese caso, ¿qué dice la Teoría de las probabilidades, cuántas rodadas se necesitan para tener la certeza que caiga el número elegido por usted, es posible tener esa certeza?.Para responder a estas preguntas supondremos un juego más sencillo, con el propósito de manejar números más pequeños; supongamos por ejemplo que una amigo le propone el siguiente: “Vamos a lanzar una moneda, usted gana equis cantidad de dinero si cae cara”. Como usted es astuto y suponiendo que ya conoce el método Durán, le hace la siguiente contrapropuesta: listo, pero hagámoslo de este modo, gano si cae cara al menos una vez en 10 lanzamientos, si su ingenuo contendor acepta, puede usted ir pensando en qué va a invertir el dinero que con seguridad va a ganar. ¿Por qué?. Según el postulado general de la Teoría de las probabilidades para un solo lanzamiento de la moneda habrían dos casos posibles: cara o sello y un solo caso ganador: cara, luego para un solo lanzamiento usted tendría una sola posibilidad de ganar entre dos, es decir 1/2 = 0,5 = 50%. Con un solo lanzamiento ¿quién ganaría, su amigo o usted?, nadie podría decirlo, pues ambos tendrían las mismas posibilidades 50% y no habría razón para preferir ninguna de las dos. Pero voy a mostrarle mediante unas tablas cómo a medida que es mayor el número de lanzamientos pactados, las posibilidades de que tanto sello como cara hayan caido y por lo tanto usted pueda ganar, van en aumento. ¿Cuáles son las probabilidades que caiga cara en dos lanzamientos?.
Pactando el juego a dos lanzamientos, ahora los casos posibles son cuatro y los casos favorables a usted son tres, de acuerdo al principio general, sus posiblidades de ganar son tres de cuatro, 3/4 = 0,75 = 75% , ¡aumentaron un 25% sus posibilidades de ganar!. Qué ocurriría si el juego hubiese sido pactado a tres lanzamientos?
Ahora los casos posibles son ocho y los casos favorables a usted son siete, por tanto sus probabilidades de ganar serían siete de ocho, 7/8 = 0,875 = 87.5 %, han aumentado 12,5% al pactar otro lanzamiento adicional!. Como puede observar, a medida que aumenta el número de lanzamientos aumentan las posibilidades de obtener cara, tal vez le surja aquí esta pregunta, ¿podría llegar a tener posibilidades del 100%, cuántos lanzamientos debería pactar para tener la mayor certeza que saldrá cara y embolsillarme el dinero de mi ingenuo amigo?.A continuación voy a exponer algunas fórmulas matemáticas, si para usted las matemáticas fueron una tortura durante su época escolar, puede saltarse esta parte y evítarse el mareo, no necesita aprenderlas para ganar en la ruleta, pero habrá nerds (como yo) a quienes les gustará efectuar una comprobación de lo que expondré más adelante y estas fórmulas le serán de utilidad.Para cualquier juego cuyo objetivo sea sortear una opción de entre cierta cantidad de elementos diferentes, sean estos números, letras, colores, etc. el número de casos posibles, será igual a el número de elementos diferentes, elevado al número de veces que puede efectuarse el sorteo. Así para un lanzamiento de moneda, los elementos diferentes son cara y sello es decir son 2, luego para un lanzamiento, los casos posibles son 21 =2, para tres lanzamientos los casos posibles son 23=8, tal y como observamos en las tablas anteriores. Como otro ejemplo, para seis lanzamientos de un dado los casos posibles serán 66=46.656. Si denotamos por a el número de elementos diferentes entre los cuales se puede elegir y por n el número de veces que puede efectuarse la elección o sorteo, entonces según lo anterior el número de casos posibles c o combinaciones de elementos que pueden obtenerse estará dado por an, es decir c = anSi efectuamos n= 1,2,3,….j sorteos, los respectivos números de casos posibles cj serán a1, a2, a3... aj, los casos favorables f j *vendrán dados por la relación cj-1 +(a-1) xfj-1 y la probabilidad de éxito pj será fj/cj . Introduciendo estas fórmulas en una hoja de cálculo en computador, se pueden construir tablas que nos permitirán ver rápidamente para cuales valores de n la probabilidad de éxito p alcanza los más altos valores, por ejemplo del 99,9%. Es preciso anotar que nunca se alcanzará un valor igual a 100%, observe el lector que en el ejemplo del lanzamiento de la moneda, en los casos posibles siempre habrá uno que no será favorable: aquel en el cual se repite siempre la opción contraria a la elegida, por ello los casos favorables f siempre serán menores a los casos posibles c y en consecuencia p=f/c nunca podrá ser igual a uno o al 100%, aunque se acerca cada vez más a dicho valor. Construyendo una tabla para el juego de la moneda obtenemos los siguientes valores
Ahora los casos posibles son ocho y los casos favorables a usted son siete, por tanto sus probabilidades de ganar serían siete de ocho, 7/8 = 0,875 = 87.5 %, han aumentado 12,5% al pactar otro lanzamiento adicional!. Como puede observar, a medida que aumenta el número de lanzamientos aumentan las posibilidades de obtener cara, tal vez le surja aquí esta pregunta, ¿podría llegar a tener posibilidades del 100%, cuántos lanzamientos debería pactar para tener la mayor certeza que saldrá cara y embolsillarme el dinero de mi ingenuo amigo?.A continuación voy a exponer algunas fórmulas matemáticas, si para usted las matemáticas fueron una tortura durante su época escolar, puede saltarse esta parte y evítarse el mareo, no necesita aprenderlas para ganar en la ruleta, pero habrá nerds (como yo) a quienes les gustará efectuar una comprobación de lo que expondré más adelante y estas fórmulas le serán de utilidad.Para cualquier juego cuyo objetivo sea sortear una opción de entre cierta cantidad de elementos diferentes, sean estos números, letras, colores, etc. el número de casos posibles, será igual a el número de elementos diferentes, elevado al número de veces que puede efectuarse el sorteo. Así para un lanzamiento de moneda, los elementos diferentes son cara y sello es decir son 2, luego para un lanzamiento, los casos posibles son 21 =2, para tres lanzamientos los casos posibles son 23=8, tal y como observamos en las tablas anteriores. Como otro ejemplo, para seis lanzamientos de un dado los casos posibles serán 66=46.656. Si denotamos por a el número de elementos diferentes entre los cuales se puede elegir y por n el número de veces que puede efectuarse la elección o sorteo, entonces según lo anterior el número de casos posibles c o combinaciones de elementos que pueden obtenerse estará dado por an, es decir c = anSi efectuamos n= 1,2,3,….j sorteos, los respectivos números de casos posibles cj serán a1, a2, a3... aj, los casos favorables f j *vendrán dados por la relación cj-1 +(a-1) xfj-1 y la probabilidad de éxito pj será fj/cj . Introduciendo estas fórmulas en una hoja de cálculo en computador, se pueden construir tablas que nos permitirán ver rápidamente para cuales valores de n la probabilidad de éxito p alcanza los más altos valores, por ejemplo del 99,9%. Es preciso anotar que nunca se alcanzará un valor igual a 100%, observe el lector que en el ejemplo del lanzamiento de la moneda, en los casos posibles siempre habrá uno que no será favorable: aquel en el cual se repite siempre la opción contraria a la elegida, por ello los casos favorables f siempre serán menores a los casos posibles c y en consecuencia p=f/c nunca podrá ser igual a uno o al 100%, aunque se acerca cada vez más a dicho valor. Construyendo una tabla para el juego de la moneda obtenemos los siguientes valores
Quiero comentar a mis lectores que la relación matemática dada en este texto para calcular el número de casos favorables en una serie, no fue hallada en ningún texto de matemáticas o probabilidad y estadística, pese a haber realizado una búsqueda exhaustiva. Por tanto hube de deducirla personalmente, constituyendo la misma una contribución original del autor al campo de la Teoría de las Probabilidades. Dicha deducción está fuera del propósito de este trabajo, si alguien desea conocerla, puede escribirme a espadadecaballero@yahoo.com
Vemos que para 10 repeticiones la probabilidad de éxito alcanza un valor suficientemente alto, 0,999 = 99,9% , por ello usted podía tener un alto nivel de confianza que de haber retado a su amigo imaginario a obtener cara almenos una vez en diez lanzamientos, habría ganado.
Veamos ahora una tabla para el juego consistente en lanzar un dado, en este caso a =6, ¿en cuántos lanzamientos se alcanza una probabilidad del 99,9% que cualquier número elegido caiga al menos una vez?
nota: Un valor tal como 3,65x1015 quiere decir 3,65 multiplicado por un uno seguido de quince ceros, esto equivale a 3.650’’000.000’000.000 ¡tres mil seiscientos cincuenta billones de combinaciones posibles!, cifras solo calculables con la ayuda del computador.
Y ahora el valor que tanto hemos esperado, ¿cuántas rodadas de ruleta son necesarias para alcanzar una probabilidad del 99,9% que cualquier número elegido salga y podamos celebrar?
